Fungsi Kuadrat: Konsep, Grafik, Sifat dan Contoh Soal

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial dengan satu atau lebih variabel, di mana eksponen tertinggi dari variabel tersebut yaitu dua.

Karena derajat paling besar dalam fungsi kuadrat adalah derajat kedua, itu juga disebut dengan polinomial derajat dua.   

Dengan demikian, dalam suatu fungsi kuadrat setidaknya memiliki satu variabel di mana kuadrat adalah derajat paling tinggi. Contoh: 

• f(x) = x² adalah fungsi kuadrat karena derajat variabel x adalah 2. 
• f(x) = 4x² + 6x + 3 adalah fungsi kuadrat karena derajat tertinggi dari semua variabel adalah 2. Perhatikan bahwa derajat variabel 6x adalah 1.
• f(x) = x³ bukan kuadrat. Derajat variabel x adalah 3. Sekali lagi, derajat tertinggi variabel x dalam fungsi kuadrat adalah 2.
• f(x) = x⁵ – 6x² , ini sedikit lebih rumit karena kita memiliki variabel x dengan derajat 2. Namun, derajat tertinggi dalam fungsi tersebut adalah 5, yang melanggar aturan umum di atas. Jadi, fungsi ini bukan fungsi kuadrat. 

Fungsi kuadrat induk berbentuk f(x) = x² dan menghubungkan titik-titik yang koordinatnya berbentuk (bilangan, bilangan²).

Transformasi dapat diterapkan pada fungsi ini yang biasanya berbentuk f(x) = a (x-h)² + k dan selanjutnya dapat diubah menjadi bentuk f(x) = ax² + bx + c.

Dengan begitu, bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah f(x)= ax² + bx + c, dengan a, b, dan c a merupakan bilangan asli. Serta a tidak setara (≠ )dengan 0. Dalam operasi fungsi kuadrat, terdapat tiga istilah seperti: 

• ax² = suku kuadrat, (a adalah koefisien utama). suku ini selalu dinaikkan menjadi 2, sehingga kadang disebut suku kuadrat.  
• bx = suku linier.
• c = suku konstanta.

Fungsi kuadrat sangat berguna saat mencoba menyelesaikan masalah yang melibatkan pengukuran atau besaran dengan variabel yang tidak diketahui. 

Grafik fungsi kuadrat adalah kurva melengkung yang disebut dengan parabola. Grafik dua dimensi ini dapat terbuka ke atas seperti cangkir (∪) atau ke bawah menyerupai huruf "U"  terbalik (∩).

Grafik yang diilustrasikan di atas adalah fungsi kuadrat dari f(x) = x². Kita bisa memperhatikan bahwa grafik tersebut merupakan sebuah fungsi karena melewati uji garis vertikal.

Ini juga memperlihatkan kalau domain fungsi kuadrat terdiri dari himpunan semua bilangan asli (−∞,∞), dan rentang yang tersusun oleh himpunan bilangan non negatif [0,∞).

Merujuk laman Saylor Academy, saat membuat grafik parabola kita akan menyertakan titik khusus di dalamnya. Perpotongan "y" adalah titik di mana grafik memotong sumbu "y". Sementara perpotongan "x" adalah titik di mana grafik memotong sumbu "x". 

Selanjutnya, kamu juga perlu tahu bahwa sumbu simetris adalah garis vertikal yang melalui titik puncak. Di mana semua parabola simetris terhadap garis tersebut. 

Menurut buku Taktis Belajar Matematika SMP/MTs karya Bob Foster dan Joko Sutrisno, sifat-sifat fungsi kuadrat bisa ditentukan dengan melihat koefisiennya.

Misal diketahui fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dengan a ≠ 0. Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat dilihat dari koefisiennya adalah seperti yang dijelaskan dalam tabel berikut. 

Hal yang sama juga berlaku bagi diskriminan, yang mana sifat-sifat fungsi kuadrat dapat ditemukan dengan melihat diskriminan. 

Misalnya fungsi kuadrat adalah f(x)= ax² + bx + c dengan a ≠ 0, maka diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut dinyatakan dengan:

D = b² - 4ac

Lalu untuk sifat grafik fungsi bila dilihat dari diskriminan akan mengacu pada tabel di bawah ini.

Sebuah fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c disebut definit positif bila fungsi kuadratnya di atas sumbu X, atau setiap nilai x maka y positif. Syarat agar definit positif adalah a > 0 dan D < 0. 

Di lain sisi,  sebuah fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c disebut definit negatif bila fungsi kuadratnya berada di bawah sumbu X, atau setiap nilai x maka y negatif. Syarat untuk definit negatif adalah a < 0 dan D > 0. 

Contoh 1:

Titik potong grafik f(x) = 9x - x² terhadap sumbu x adalah..

Pembahasan: 

Untuk titik potong dengan sumbu X maka nilai y = 0  

f(x) = 9x - x²

9x - x² = 0

x(9 - x) = 0

x = 0 atau x = 9   (difaktorkan)

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X ada di (0,0) dan (9,0).

Contoh 2: 

Titik balik fungsi kuadrat f(x) = 2(x + 2)²  + 3 adalah.. 

Pembahasan: 

Uraikan fungsi kuadrat terlebih dahulu.

f(x) = 2(x + 2)²  + 3

f(x) = 2(x² + 4x + 4) + 3

Fungsi kuadrat diartikan sebagai fungsi polinomial bereksponen dua. 

Fungsi kuadrat sering dimanfaatkan dalam banyak bidang teknik dan sains untuk memperoleh nilai parameter berbeda.

f(x) = 2x² + 8x + 8 + 3

f(x) = 2x² + 8x + 11

Berdasarkan fungsi tersebut diperoleh a = 2, b = 8, dan c = 11.

Koordinat titik puncak atau titik balik fungsi kuadrat adalah (- b/2a , - D/4a)

x = - b/2a ⇨ x = - 8/2 x 2 ⇨ x = 2

y = - D/4a ⇨ y = - 8² - 4x 2 x 11/4 x 2²

⇨ y = - 64 - 88/8 ⇨ y = - (-24)/8

⇨ y = 3 

Jadi, titik balik fungsi kuadrat tersebut adalah (-2, 3).

Contoh 3: 

Persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (-2, 0) dan (2, 0), serta melalui titik (0, 4) adalah..

Pembahasan:

Grafik memotong sumbu X di titik (-2, 0) dan (2, 0) maka

f(x) = a(x - p)(x - q)

= a(x -(-2)(x - 2)

= a(x + 2)(x - 2)

Grafik juga melalui titik (0, 4) maka

f(x) = a(x + 2)(x - 2)

4 = a (0 + 2)(0 - 2)

4 = a(2)(-2)

4 = -4a

a = -1

Jadi, persamaan fungsi kuadrat yang dimaksud adalah

f(x) = a(x + 2)(x - 2)

f(x) = -1(x + 2)(x - 2)

f(x) = -1(x² - 4)

f(x) = 4 - x²

Nah, kita sudah sampai akhir dari materi seputar fungsi kuadrat. Setelah mempelajari konsep dan sifat-sifat fungsi kuadrat, diharapkan itu akan membantu kamu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan fungsi kuadrat. Kamu akan semakin mendapat pemahaman yang baik, bila terus berlatih mengerjakan soal dan mengevaluasinya.

Penulis: Dian Rahma Fika Alnina