Bikin Pusing, 6 Soal Matematika Ini Belum Terpecahkan sampai Sekarang

Dalam dunia ilmu komputer yang sarat dengan matematika, seorang pemrogram dapat memprogram satu program komputer untuk memecahkan persoalan secara cepat, contohnya aritmatika dasar, menyortir daftar, dan pencarian melalui tabel data.

Kelompok soal yang dapat dipecahkan algoritme dalam "waktu polinomial" ini disebut "P".

Akan tetapi, ada beberapa pertanyaan yang belum dapat diketahui cara jawab cepatnya. Namun, jika terdapat cukup petunjuk yang mengarah ke jawabannya, adalah hal yang mungkin untuk memverifikasi hasilnya dengan cepat.

Contohnya adalah menghitung faktor prima dari bilangan besar. Jika terdapat daftar bilangannya, mungkin dapat dengan mudah diverifikasi. Namun, tak ada cara pasti untuk mendapatkan faktor-faktor tersebut secara efisien.

Kelompok soal tersebut tidak dapat terjawab secara efisien, namun dapat "diverifikasi" dalam waktu "polinomial non-deterministik", disebut "NP".

Setiap kelompok soal dalam P secara otomatis juga termasuk NP.

Dengan kata lain, jika kamu dapat memecahkan satu soal dengan cepat (P), berarti solusi-solusi lain dapat kamu cari dengan cara memecahkan soal tersebut untuk memverifikasi apakah jawabannya sesuai dengan hasil solusi-solusi tersebut (NP).

Inti dari "P vs NP" adalah pertanyaan "apakah kebalikannya berlaku?" (apakah soal NP bisa juga diselesaikan dalam P?) Dengan kata lain, jika ada cara efisien untuk memverifikasi solusi untuk satu soal, apakah ada cara efisien untuk benar-benar menemukan solusi soal tersebut?

Sebagian besar matematikawan dan ilmuwan komputer menjawab "tidak". Mereka berpendapat jika ada algoritme yang dapat memecahkan masalah NP selayaknya P, algoritme tersebut akan memiliki implikasi yang mengejutkan di bidang matematika, sains, dan teknologi.

Butuh pengertian tentang ilmu komputer dan matematika yang lebih dalam untuk menjawab pertanyaan P = NP dan sebaliknya, hal yang belum dimiliki bidang teknologi manusia saat ini.

Kalau dibandingkan, rumus Navier-Stokes adalah versi "dinamika cairan" dari Hukum Gerak Newton. Maksudnya? Rumus ini menjelaskan pergerakan cairan atau gas dapat berevolusi mengikuti waktu.

Sebagai contoh, ingat hukum kedua Newton?

"Kecepatan objek dipengaruhi oleh gaya eksternal."

Betul. Nah, rumus Navier-Stokes kurang lebih menjelaskan hal yang sama dengan prinsip tambahan.

"Kecepatan aliran cairan atau gas dipengaruhi oleh gaya internal seperti tekanan dan viskositas, serta gaya eksternal seperti gravitasi."

Persamaan Navier-Stokes adalah satu sistem dari berbagai persamaan diferensial. Persamaan diferensial tersebut menjelaskan bagaimana kuantitas fluida dan gas berubah seiring waktu dibandingkan dengan kondisi awal.

Dalam kasus persamaan Navier-Stokes, kamu mulai dengan beberapa aliran fluida dan gas awal, dan persamaan diferensial menggambarkan bagaimana aliran tersebut berevolusi.

Memecahkan persamaan diferensial berarti menemukan beberapa rumus matematika untuk menentukan berapa jumlah kuantitas yang kamu inginkan pada waktu tertentu, berdasarkan persamaan yang menjelaskan bagaimana kuantitas berubah. Banyak sistem fisik yang dijelaskan oleh persamaan diferensial, seperti getaran senar gitar atau aliran kalor dari benda panas ke benda dingin.

Masalahnya, persamaan Navier-Stokes tidak sesimpel itu. Secara fisik, fluida dan gas dapat menunjukkan perilaku yang tidak stabil.

Contohnya, asap yang keluar dari lilin atau rokok pada awalnya cenderung mengalir dengan lancar dan dapat diprediksi. Tetapi, seiring waktu, asap tersebut dengan cepat berubah menjadi pusaran-pusaran yang tidak jelas.

Kelemahan persamaan Navier-Stokes dalam memprakirakan perilaku tidak stabil fluida dan gas ini menunjukkan bahwa persamaan Navier-Stokes sebenarnya belum lengkap.

Pertanyaannya, dengan mengikuti persamaan diferensial, apakah ada rumus fluida dan gas ideal yang, dapat mengimbangi perilaku tak stabil tersebut. Dengan kata lain, tantangannya adalah:

"Bisakah kamu menemukan persamaan yang dapat diterapkan di seluruh perilaku cairan dan gas, dari stabil hingga tidak stabil?"

Jika kamu dapat menemukan rumusnya, atau sekadar membuktikan kalau hal tersebut mustahil, selamat, kamu telah menaklukkan persamaan Navier-Stokes!

Dalam sejarah matematika dan fisika, penemuan teori kuantum adalah lompatan terbesar. Perilaku materi dan energi ternyata sangat berbeda pada skala atom dan subatom. Salah satu pencapaian besar sains di abad ke-20 adalah mengembangkan pemahaman teoretis dan eksperimental mengenai perilaku tersebut.

Salah satu dasar utama mekanisme kuantum modern adalah teori Yang-Mills. Teori ini menjabarkan perilaku kuantum elektromagnetisme dan kekuatan serta kelemahan nuklir dalam hal struktur matematika yang muncul saat mempelajari simetri geometrik.

Prediksi teori Yang-Mills telah dibenarkan melalui eksperimen yang tak terhitung jumlahnya, memberikan pemahaman penting tentang bagaimana partikel atom disatukan.

Terlepas dari keberhasilannya, dasar matematis dari teori itu tidak jelas hingga saat ini. Salah satu persoalan matematika yang menarik dari teori Yang-Mills adalah "celah massa kuantum". Celah tersebut mengharuskan partikel subatomik tertentu, yang dalam beberapa hal sama dengan foton tanpa massa, memiliki massa positif.

Celah massa adalah bagian penting yang menjelaskan mengapa gaya nuklir sangat kuat mirip seperti gaya elektromagnetik dan gravitasi, tetapi memiliki jarak yang sangat pendek.

Jadi, pertanyaannya adalah,

"Temukan dasar teori matematika dari teori Yang-Mills yang juga menjelaskan celah massa kuantumnya!"

Bilangan prima - bilangan yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan 1 - sering menjadi topik hangat di kalangan matematikawan. Bilangan prima juga adalah "pondasi" dari bilangan bulat, karena bilangan bulat mana pun dapat secara unik dipecah menjadi rangkaian bilangan prima.

Mengingat pentingnya bilangan prima di bidang matematika, pertanyaan tentang bagaimana bilangan prima terbagi di sepanjang garis bilangan adalah persoalan yang menarik untuk otak.

Pada abad ke-19, seorang matematikawan asal Jerman, Georg Friedrich Bernhard Riemann, telah menemukan rumus yang memberikan perkiraan jarak rata-rata antara bilangan prima.

Hipotesis Riemann membatasi kemungkinan tersebut dengan menetapkan batasan pada seberapa jauh distribusi bilangan prima dapat menyimpang dari jarak rata-rata dengan fungsi zeta Riemann atau ζ(s).

Hipotesis Riemann menyatakan bahwa semua nilai solusi dalam persamaan ζ(s) = 0 berada pada garis vertikal lurus.

Satu hal yang masih belum terpecahkan adalah seberapa dekat pembagian bilangan prima sejati dengan rata-rata tersebut. Dengan kata lain, apakah ada bagian dari garis bilangan di mana bilangan prima "terlalu banyak" atau "terlalu sedikit" menurut rumus rata-rata tersebut?

Selama ini, pengkajian "fungsi zeta Riemann" telah menjadi topik tersendiri di bidang matematika murni, demikian semakin menekankan signifikansi hipotesis Riemann. Sampai saat ini, metode komputasi telah menemukan sekitar 10 triliun solusi untuk persamaan fungsi zeta jatuh di sepanjang garis bilangan.

Meskipun terdapat berbagai bukti signifikan yang membenarkan hipotesis Riemann, bukti-bukti tersebut tetap sukar dipahami. Jika terpecahkan, hipotesis Riemann akan menjadi lompatan terbesar di bidang matematika murni.

Salah satu topik kajian matematika tertua dan terluas adalah persamaan diophantine, atau persamaan polinomial untuk menemukan solusi bilangan bulat. Tidak ngeh? Salah satu contoh yang mungkin banyak diingat sejak pelajaran geometri di sekolah dasar adalah teorema Pythagoras, a2 + b2 = c2

Dalam beberapa tahun terakhir, para ahli aljabar telah secara khusus mempelajari kurva eliptis, yang didefinisikan oleh persamaan diophantine tertentu.

Kurva ini memiliki aplikasi penting dalam teori bilangan dan kriptografi, dan menemukan solusi bilangan bulat atau rasional bagi kedua teori tersebut adalah tujuan utamanya.

Konjektur Birch & Swinnerton-Dyer menyediakan pedoman analisis tambahan dalam memahami solusi persamaan yang ditentukan oleh kurva eliptis, dengan memaparkan bahwa kurva eliptis memiliki jumlah titik rasional (solusi) yang tak terbatas atau jumlah titik rasional yang terbatas.

Hal tersebut tergantung dari perilaku masing-masing fungsi zeta terkait sama atau tidak sama dengan nol. Bila ζ(1) = 0, maka terdapat titik rasional yang tak terbatas. Sebaliknya, jika ζ(s) ≠ 0, maka jumlah titik rasional yang terbatas.

Kamu dapat membuktikannya? Pembuktian konjektur Birch & Swinnerton-Dyer akan menjadi salah satu kontribusi terbesar untuk perkembangan analisis teori bilangan dan kurva eliptis di masa ini.

Pada abad ke-20, para matematikawan menemukan cara ampuh untuk menyelidiki bentuk objek yang rumit. Namanya adalah geometri aljabar. 

Contoh sederhana geometri aljabar adalah rumus y=x(^2). Jika digambarkan, hasilnya adalah kurva parabola. Tujuannya adalah untuk melihat sejauh mana perkiraan bentuk objek tertentu dengan menempelkan blok-blok pembangun geometris sederhana dari dimensi yang terus bertambah.

Teknik ini ternyata sangat berguna sehingga disebarluaskan dalam berbagai cara yang berbeda. Teknik tersebut akhirnya mengarah ke satu pedoman, yang memungkinkan para matematikawan untuk membuat kemajuan besar dalam mengelompokkan berbagai objek rumit yang mereka temui dalam penyelidikan mereka.

Konjektur Hodge menegaskan bahwa untuk jenis ruang tertentu, yang disebut varietas aljabar projektif, potongan-potongan yang disebut siklus Hodge sebenarnya merupakan kombinasi linear rasional dari potongan-potongan geometris yang lebih sederhana, disebut siklus aljabar.

Dengan kata lain, beberapa jenis tertentu dari struktur geometri memiliki pasangan aljabar yang dapat digunakan untuk mempelajari dan mengklasifikasikan bentuk-bentuk objek rumit dengan lebih baik.

Itulah 6 soal matematika rumit yang belum dapat dijawab dunia hingga saat ini. Apakah kamu siap untuk memutar otak di rumah?