Integral Parsial: Pengertian, Rumus dan Contoh Perhitungan

Melansir situs Cluemath, integral parsial adalah cara menguraikan pecahan rasional yang tepat menjadi bagian jumlah pecahan yang lebih sederhana. Teknik integral dengan cara parsial dapat dilakukan ketika terdapat suatu integral yang tidak bisa diselesaikan, baik dengan cara substitusi maupun cara biasa.

Agar kamu bisa memahaminya dengan lebih mudah, simak salah satu contohnya berikut ini. Misalnya, terdapat sebuah bilangan 5/6, dengan menguraikan dua pecahan parsial secara aljabar, bilangan tersebut dapat diuraikan menjadi 5/6 = 1/2 + 1/3.

Pada dasarnya, apabila ditemukan dua komponen dalam suatu integral yang tidak memiliki turunan antar keduanya, maka hal ini perlu diselesaikan dengan cara menggunakan teknik integral parsial. Adapun rumus integral parsial antara lain adalah sebagai berikut:

∫u × dv = u × v - ∫v × du

Keterangan:

u = fungsi (biasanya fungsi ini lebih sulit untuk diintegrasikan)
dv = diferensial dari fungsi lain
v = biasanya fungsi yang lebih mudah untuk diintegrasikan
du = diferensial dari u
v = hasil integrasi dari dv

Untuk lebih memahami mengenai integral parsial lebih lanjut, simak beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Hitung soal berikut dengan menggunakan teknik integral parsial: x² cos dx. Maka, penyelesaiannya adalah:

Misalnya, kamu memilih u = x² dan dv = cos(x) dx agar memperoleh du yang lebih sederhana, serta dv yang lebih mudah diintegralkan. Dengan begitu, penyelesaiannya adalah:

u = x² → du = 2x dx → du = 2x dx

dv = cos(x) dx → ∫dv = ∫cos(x) dx

  v = sin(x).

Jika menggunakan rumus integral parsial, maka penyelesaiannya yaitu:
∫ cos(x) dx = uv - ∫v du

                  = x² sin(x) - ∫sin(x) × 2x dx

∫x^2 cos(x) dx = x^2 sin(x) - 2 [∫x sin(x) dx]

Meskipun penyelesaian tersebut belum berhasil untuk menghitung integral, namun integral tak tentu yang ada di bagian kanan sudah lebih sederhana dibandingkan dengan integral tak tentu yang asilnya, yaitu di bagian kiri. Untuk melengkapi penyelesaiannya, kamu perlu menggunakan rumus integral kembali dalam menghitung contoh soal tersebut.

∫ x² cos(x) dx = x² sin(x) - 2 [-x cos(x) + sin(x) + C]

= x² sin(x) + 2x cos(x) - 2 sin(x) - 2C

= x² sin(x) + 2x cos(x) - 2 sin(x) +C

Berikut adalah contoh soal dan penyelesaiannya berdasarkan buku Cerdas Belajar Matematika untuk Kelas XII yang disusun oleh Marthen Kanginan. Simak baik-baik, ya.

Demikian penjelasan mengenai integral parsial, mulai dari pengertian, rumus, dan contoh soalnya. Semoga informasi di atas bisa membantumu dalam memahami integral parsial, dan jangan lupa untuk mempraktikkan perhitungannya di rumah, ya!

Penulis: Muti'ah Nur Rahmah