Rumus Dilatasi: Pengertian, Hingga Contoh Soalnya, Mudah Banget!

Dilatasi matematika menjadi salah satu pembahasan penting ketika menjelaskan tentang soal geometri dan transformasi geometri di pembelajaran matematika. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), transformasi memiliki arti berubahnya rupa, sementara itu geometri merupakan cabang matematika yang menjelaskan mengenai sifat-sifat garis, bidang, sudut, dan ruang.

Transformasi geometri diartikan secara sederhana sebagai transformasi yang menjelaskan proses dari perubahan pada bidang geometri yang terdiri dari besar, posisi dan bentuk. Transformasi terjadi karena adanya dilatasi.

Dilatasi adalah transformasi yang membuat bentuk bangun geometri mengalami perubahan, baik itu memperkecil atau memperbesar tanpa adanya perubahan pada bentuk asli bangunan. Jadi, menyesuaikan dengan dilatasinya, bisa membesar 2 kali lipat, atau 3 kali lipat dan seterusnya. Suatu dilatasi akan menciptakan bayangan yang lebih besar atau perbesaran dan bayangan yang lebih kecil atau pengecilan.

Faktor skala untuk menggali dan titik pusat dilatasi sebagai penentu perubahan karena dilatasi. Faktor skala sebagai skala yang digunakan dalam memahami besar atau kecilnya bayangan hasil dilatasi apabila dibandingkan dengan objek aslinya. Sedangkan, titik pusat dilatasi sebagai titik acuan untuk pengukuran pada transformasi. Dilatasi dapat dilakukan pada titik, bangun, garis, dan semua bentuk geometri yang tersedia.

Faktor pengali sebagai faktor yang menentukan letak dan ukuran objek hasil dilatasi. Terus, bagaimana hubungan antara dilatasi dengan faktor pengali?

• Faktor pengali lebih besar dari satu (k > 1) akan menghasilkan ukuran objek yang semakin besar dan searah dengan sudut dilatasi objek awalnya.
• Faktor pengali sama dengan satu (k = 1) ukuran atau posisi objek tidak berubah.
• Faktor pengali antara 0 dan 1 (0 < k < 1) menghasilkan ukuran objek yang kecil dan searah dengan sudut dilatasi awalnya.
• Faktor pengali antara -1 dan 0 (-1 < k < 0) membuat ukuran objek mengecil dengan arang yang berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.
• Faktor pengali sama dengan -1 (k = -1) ukuran objek tidak berubah tetapi arahnya berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.
• Faktor pengali lebih kecil dari -1 (k < – 1) membuat ukuran objek membesar  dengan arah yang berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya.

Pembesaran, pengecilan, dan posisi bangun dilatasi ditentukan oleh nilai k. Bangun dan ukuran sudut akan selalu sama, dan memetakan garis. Sedangkan, letak bayangan ditentukan oleh titik pusat dilatasi yang terletak pada (0,0) atau di tempat lain (a,b).

Berdasarkan titik pusatnya, dilatasi terbagi menjadi dua yaitu dilatasi terhadap titik pusat (0,0) dan dilatasi terhadap titik pusat (a, b). Lalu, apa perbedaan dari keduanya?

1. Dilatasi terhadap titik pusat (0,0)
   Secara umum, dilatasi titik A terhadap titik pusat (0,0) bisa dijelaskan dengan:

   A(x,y)D[0,k]→A’(x,y’)

   Bentuk penjelasan di atas menjelaskan jika titik A yang berkoordinat (x,y) mengalami dilatasi terhadap titik pusat (0,0) yang dipengaruhi faktor pengali k, dan membuat titik A’ yang berkoordinat (x’,y’).

2. Dilatasi terhadap titik pusat (a,b)
   Jika titik A mengalami dilatasi terhadap titik pusat (a,b) dengan faktor pengali k. Sehingga secara matematis dapat dijelaskan sebagai berikut:

   A(x,y)D[(a,b)k]→A’(x,y’)

Pada dasarnya penggunaan dilatasi sering ditemukan dalam dunia nyata untuk banyak hal. Misalnya, pada skala peta yang menjelaskan skala 1:100 m yang berarti 1 cm dipeta sama dengan 100 m di dunia nyata dengan sistem dilatasi. 

Banyak disiplin ilmu yang menggunakan dilatasi seperti teknik industri, arsitektur, teknik mesin, dan ilmu-ilmu teknik yang lain. Terlebih lagi pada bidang fisika terdapat dimensi waktu yaitu perbedaan waktu yang tercatat dari dua pengamat walaupun bergerak bersama. Hal ini dapat terlihat pada film interstellar ketika waktu 1 jam di planet sama dengan tujuh tahun di bumi.

Perlu diketahui terlebih dahulu bahwa rumus dilatasi matematika adalah komponen-komponen yang berada di dalamnya. Titik pusat dilatasi dilambangkan dengan titik pusat O (0,0) dengan faktor skala disebut k dan notasinya adalah [O,k].

Dalam pembahasan, bayangan atau hasil dilatasi dari titik A(x, y) adalah A'(x’, y’), dengan persamaan transformasinya adalah x’= kx dan y’= ky. Yang berarti, rumus dilatasi dengan titik pusat 0 dan faktor skala k adalah:

(x, y) -> (x’, y’) = (kx, ky)

Bagaimana jika pusat bukan 0 tetapi P (a,b)?

Apabila hal itu terjadi rumusnya adalah

K(x-a) = x’-a

x’ = K(x-a) + a

K(y-b) = y’-b

y’ = K(y-b) + b

(x, y) → (x’, y’) = (K(x-a) + a, K(y-b) + b)

Kamu sudah mengetahui mengenai rumus-rumus tentang dilatasi, lalu bagaimana contoh soalnya? Berikut ini soal-soal tentang dilatasi.

1. Akan dilakukan dilatasi tiga kali lipat terhadap titik A (1, 2) dengan pusat (-5, 1), di mana letak titik A’?
   Karena pusat dilatasi ada di P(a, b), maka bisa menggunakan rumus yang kedua untuk menyelesaikan soal ini.

   Jadi,

   (x, y) → (xˡ, yˡ) = (K(x – a) + a, K(y – b) + b)

   (1, 2) → (xˡ, yˡ) = (3(1 – (-5)) + (-5), 3(2 – 1) + 1)

   (1, 2) → (xˡ, yˡ) = (13, 4)

   Dari jawaban ini diperoleh letak titik A’ berada di A'(13, 4).

2.  Titik A (2,3)  akan memperoleh  dilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat dilatasi O (0, 0), selain itu juga mendapat dilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat R (1, 1). Tentukan titik bayangan A untuk kedua dilatasi tersebut!
   Untuk menjawab soal pertama, karena pusat ada di (0, 0), maka hanya perlu mengalikan titik dengan faktor skala dilatasi k.

   Jadi,

   A’= (k.2, k.3)

   A’= (4, 6)

   Jadi, untuk dilatasi pertama, titik bayangan A berada di A'(4, 6).

   Kemudian, untuk soal kedu bisa menggunakan rumus yang kedua dengan pusat dilatasi R (1, 1). Sebut saja bayangan kedua ini dengan B.

   Jadi,

   (x, y) → (xˡ, yˡ) = (K(x – a) + a, K(y – b) + b)

   (2, 3) → (xˡ, yˡ) = (2(2-1) + 1, 2(3-1) + 1)

   (2, 3) → (xˡ, yˡ) = (3, 5)

   Dari jawaban ini didapatkan untuk bayangan A yang kedua terletak di B (3, 5). 

    

Itu tadi penjelasan mengenai dilatasi mulai dari pengertian, faktor pengali, jenis, penggunaan, rumus hingga contoh soalnya. Semoga kamu paham dengan penjelasan ini, ya. Semangat belajar!