Rumus Permutasi: Perbedaan dengan Kombinasi dan Contoh Soal Permutasi

Meskipun antara permutasi dan kombinasi berbeda dari segi urutannya, namun keduanya sama-sama digunakan untuk mencari peluang atau probabilitas dari suatu kejadian. Singkatnya, kombinasi merupakan permutasi yang tidak perlu memperhatikan nilai acak.

Misalnya, diketahui ada 3 buah unsur yaitu A, B, dan C. Jika perlu memilih 2 buah susunan dari ketiga buah unsur tersebut, maka akan didapatkan 6 pilihan, yaitu AB, AC, BE, BA, CA, dan EB. Nah, tiap pilihan dari unsur itu disebut sebagai permutasi.

Perlu diingat, dalam menghitung rumus permutasi, susunan yang sama dari suatu unsur atau elemen hanya dapat dihitung satu kali saja. Untuk itu, kamu perlu mencari rumus baru untuk permutasi dengan elemen-elemen yang sama. Hal ini disebut dengan permutasi pengulangan.

Jika dilihat dari jenisnya, rumus permutasi tidaklah tunggal. Artinya, permutasi memiliki beberapa rumus permutasi yang dibedakan berdasarkan unsurnya, yaitu:

Rumus ini bisa digunakan untuk menghitung peluang sebagian dari keseluruhan objek atau kejadian yang bisa dipilih, dengan unsur yang berbeda. Misalnya, seperti contoh perumpamaan yang telah dijelaskan pada konsep permutasi di atas, dari 3 buah unsur A, B, dan C, kamu diminta untuk mengambil 2 buah susunan saja.

Maka, akan ada 6 percobaan atau cara yang bisa digunakan untuk memilihnya, bisa AB, AC, BE, dan lainnya. Oleh karena itu, rumus permutasi dengan unsur berbeda di mana ketentuannya (r ≤ n), yaitu:

Keterangan:

P = Permutasi

n = Jumlah kejadian yang dapat dipilih

r = Jumlah kejadian yang harus dipilih

! = Simbol faktorial

Sama seperti namanya, dalam menggunakan rumus permutasi ini, kamu perlu memperhatikan urutannya agar tidak ada unsur yang sama atau diulang. Untuk lebih jelasnya, simak contohnya berikut ini.

Diketahui terdapat susunan huruf A, B, dan A. Tentukan variasi permutasi yang dimiliki dari susunan huruf tersebut!

Penyelesaiannya yaitu:

Jika menggunakan rumus permutasi dengan unsur berbeda, akan dihasilkan peluang berikut:

ABA’ → AA’B, ABA’, A’BA, A’AB, BAA’, BA’A = 6 cara

Namun, karena di sini ketentuannya tidak boleh ada unsur yang sama atau diulang, maka dari keenam cara tersebut yang memiliki unsur sama dan perlu dihilangkan yaitu A’BA, A’AB, dan BA’A. Hasilnya:

ABA → AA’B, ABA’, BAA’ = 3 cara

Dengan demikian, dari unsur tersebut ditemukan peluang 3 cara, di mana sudah tidak ada lagi unsur yang sama. Maka, rumus permutasi untuk unsur yang sama yaitu:

Berikutnya, rumus permutasi siklis atau melingkar yaitu digunakan untuk menentukan susunan atau cara yang bisa diperoleh dari unsur berbeda, dalam kondisi yang melingkar. Agar lebih jelasnya, simak contohnya berikut ini.

Ada salah satu perkumpulan yang sedang berdiskusi di meja bundar dengan posisi duduk melingkar. Ada berapa variasi tempat duduk yang akan dihasilkan jika dihitung dengan konsep permutasi?

Jawab:

Dan seterusnya…Untuk itu, dari contoh di atas, maka jenis permutasi siklis dapat dirumuskan sebagai berikut, yaitu:

Pn = (n-1)!

Agar kamu bisa lebih memahami konsep rumus permutasi, berikut adalah beberapa contoh perhitungannya yang dapat diikuti berdasarkan buku Cerdas Belajar Matematika untuk Kelas XII Program Ilmu Sosial dan Bahasa oleh Marthen Kanginan dan Rumus Lengkap Matematika SMA oleh Joko Untoro. Simak baik-baik, ya!

1. Diketahui terdapat susunan abjad A, B, C, D, dan E. Jika dari susunan tersebut akan diambil 3 huruf, berapa banyak permutasi yang akan terjadi?

Jawab:

Dari contoh soal tersebut, maka rumus permutasi yang akan digunakan yaitu dengan unsur yang berbeda. Maka, penyelesaiannya yaitu:

Dengan demikian, banyaknya permutasi yang akan terjadi dari susunan abjad A, B, C, D, E adalah 60.

2. Jika huruf-huruf pada kata ‘BOROBUDUR’ akan diacak, berapa banyak susunan huruf berbeda yang bisa diperoleh berdasarkan konsep permutasi?

Jawab: 

Dari contoh soal tersebut, maka rumus yang akan digunakan adalah rumus permutasi dengan unsur yang sama. Penyelesaiannya antara lain yaitu:

3. Diketahui terdapat 4 orang yang akan duduk pada 4 kursi di sebuah meja melingkar, hitung berapa cara yang bisa dihasilkan berdasarkan konsep permutasi siklis!

Jawab:

P = (n-1)!

   = (4-1)!

   = 3!

   = 3 . 2. 1

   = 6 cara

Dengan demikian, 4 orang tersebut memiliki peluang untuk duduk di kursi pada meja melingkar sebanyak 6 cara.

Itulah penjelasan mengenai rumus permutasi, mulai dari konsep, jenis-jenis, hingga contoh soal dan pembahasannya. Bagaimana, sekarang kamu sudah paham mengenai konsep rumus permutasi, ya? Jangan lupa untuk mempraktikkan contoh perhitungannya sendiri, ya!

Penulis: Muti'ah Nur Rahmah