Shai Gilgeous-Alexander lahir pada 12 Juli 1998 di Toronto, Ontario, Kanada. Ia adalah anak dari Charmaine Gilgeous, mantan atlet lari asal Antigua dan Barbuda yang pernah berkompetisi di Olimpiade 1992. Oleh karena itu, fisik atletis Shai berasal dari ibunya. Gilgeous-Alexander menjalani pendidikan SMA di St Thomas More di Hamilton. Namun, saat itu namanya sempat tidak masuk ke dalam daftar pemain tim basket sekolah tersebut.
Hal tersebut membuat Gilgeous-Alexander makin termotivasi untuk berkembang menjadi pemain yang hebat. Dwayne Washington, guru sekaligus pelatih klub basket Gilgeous-Alexander, memberinya 27 jenis rutinitas latihan yang berbeda untuk meningkatkan kemampuan spesifik di sisi menyerang. Seiring berjalannya waktu, Gilgeous-Alexander berpindah-pindah sekolah hingga akhirnya tampil sebagai pemain yang solid di Hamilton Heights Christian Academy dengan rataan 18,4 poin, 4,4 rebound, dan 4 assist.
Setelah lulus SMA, Shai Gilgeous-Alexander bergabung dengan University of Kentucky sebagai prospek bintang empat. Awalnya ia hanya bermain sebagai pemain cadangan. Namun, pada pertengahan musim, Gilgeous-Alexander akhirnya dipercaya sebagai starter. Bersama Kentucky, ia mencatat rataan 14,4 poin, 5,1 assist, dan 4,1 rebound. Di NCAA atau March Madness, performanya meningkat dengan rataan 20,3 poin, 6,3 rebound, dan 6 assist.