Program Linear: Pengertian, Grafik, dan Contoh Soal

Pernah menemukan soal nilai minimal dan nilai maksimal? Terkadang, pada soal tersebut kamu akan diminta mencari daerah yang diarsir pada sebuah grafik berdasarkan pertidaksamaan. Atau, bisa pula mencari keuntungan terbesar dari dua pilihan.

Kalau pernah mendapatinya, berarti kamu sedang menghadapi bagian dari materi program linear. Apa itu dan bagaimana menyelesaikannya? Mari kita bahas sama-sama.

Apa itu program linear?

Program linear merupakan operasi hitung guna menyelesaikan soal atau masalah berkaitan dengan operasi linear. Berkaitan dengan grafik, ini bisa digunakan mencari nilai maksimal atau minimal.

Dalam penghitungannya, program linear memiliki dua fungsi, yakni fungsi objektif (tujuan) dan fungsi kendala. Penjelasannya sebagai berikut.

Fungsi objektif 

Ini merupakan fungsi yang nilainya akan dioptimalkan. Fungsi objektif berarti menemukan maksimum atau minimum. Apabila fungsi objektifnya adalah biaya produksi, maka digunakan untuk mencari nilai minimum. Sebaliknya, bila fungsi objektif berupa keuntungan, maka dipakai untuk mencari nilai maksimum.

Bentuk umumnya adalah:

f(x, y) = px + qy, dengan p dan q adalah konstanta.

Fungsi kendala 

Pada program linear, fungsi kendala berarti  batasan-batasan pengubah yang ada pada fungsi objektif. Penghitungannya menggunakan pertidaksamaan dengan bentuk umum:

ax + by ≤ m atau ax + by ≥ m

cx + dy ≤ n atau cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o atau x ≥ 0 ; y ≥ o

Baca Juga: Perkalian Matriks 2x2: Pengertian, Konsep, dan Contoh Soal

Contoh soal program linear

Biar tidak makin pusing dan bingung, mari coba terapkan konsep program liniear dalam soal. Pahami step by step menyelesaikan pola soalnya, ya.

Soal 1

Diketahui:

4x + y ≥ 8

x + 2y ≤ 16

x ≥ 0

y ≥ 0 

Jika fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 40x + 20y, maka tentukan nilai maksimumnya!

Kamu perlu menguraikan satu per satu dari persamaan yang ada. Pertama, dari persamaan 4x + y = 8, diperoleh:

Jika x = 0, maka y = 8 atau (0,8)
Jika y = 0, maka x = 2 atau (2,0)

Lanjut, dari persamaan x + 2y = 16 diperoleh:

Jika x = 0, maka y = 8 atau (0,8)
Jika y = 0, maka x = 16 atau (16,0)

Kamu sudah mendapatkan persamaannya, sekarang mencari nilai x dan y. Caranya, menggunakan metode eliminasi.

4x + y = 8            x1        4x + 4y = 48

x + 2y = 16          x4        4x + 8y = 64

                                           ______________ _

                                                    4y = 16

                                                      y = 4

Dari metode eliminasi di atas, maka 4x + y = 8 berarti:

→ 4x + 4 = 8

→ 4x = 4

→ x = 1, maka x,y = (1,4)

Sudah ketemu nih x dan y-nya. Sekarang, kamu perlu memasukkan penghitungannya satu per satu pada persamaan yang ada, yakni: (0,8), (2,0), dan (16,0).

f(0,8) = 30(0) + 15(8) = 120
f(2,0) = 30(2) + 15(0) = 60
f(12,0) = 30(16) + 15(0) = 480

Jadi, nilai maksimumnya adalah 480.

Soal 2

Mbak Timmy punya persediaan kain wol sepanjang 4 m dan kain satin 5 m. Dari kain-kain yang ada akan dibuat dua model pakaian. Baju pertama membutuhkan 2 m kain wol dan 1 m kain satin. Untuk membuat baju kedua memerlukan 1 m kain wol dan 2 m kain satin.

Pakaian pertama akan dihargai Rp600 ribu, sedangkan pakaian kedua dibanderol Rp500 ribu. Jika baju pesta tersebut terjual, hasil penjualan maksimum yang Mbak Timmy dapatkan adalah?

(A) Rp1.800.000,00
(B) Rp1.700.000,00
(C) Rp1.600.000,00
(D) Rp1.250.000,00
(E) Rp1.200.000,00

Pembahasan:

Agar lebih mudah, bisa banget kamu buat tabel terlebih dahulu. Keterangannya seperti pada gambar di bawah ini.

Buat permisalan untuk kedua jenis kain. Contohnya, x untuk kain wol dan y untuk kain satin. Maka, persamaannya menjadi:

2x + y ≤ 4x + 2y ≤ 5x ≥ 0y ≥ 0

Jika digambarkan sebagai grafik, maka menjadi:

Sebab yang ditanya adalah hasil penjualan maksimum, maka salah satu cara mengaetauinya yakni dengan memanfaatkan titik uji pada titik sudut daerah kepada fungsi tujuan. Hasilnya ditemukan persamaan:

Z=600.000x+500.000y.

Lanjut dengan memperkirakan berdasar persamaan yang terbentuk.

Persamaan (2,0)

Z=600.000(2)+500.000(0)=1.200.000

Persamaan (1,2)

Z=600.000(1)+500.000(2)=1.600.000

Titik (B) didapat dengan mengelimiasi atau substitusi garis 1 dan garis 2

Persamaan (0,52)

Z=600.000(0)+500.000(52)=1.250.000

∴ Pilihan yang sesuai adalah (B) dengan pendapatan maksimal Rp1.600.000,00.

Sudah cukup mabok dengan program linear? Dengan grafik, kamu akan mendapatkan gambaran lebih spesifik dari jawaban yang dihasilkan. 

Baca Juga: Membahas Tuntas Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)